古代算数难，土方换算更难，究竟用何种方法化繁为简？

BOOK5

今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几许？

答曰：七千一百一十二尺。

冬程人功四百四十四尺。问用徒几许？

答曰：一十六人一百一十一分人之二。

今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几许？

答曰：积八千尺。为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。

今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几许？

答曰：积三百五十尺。为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。

今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米几许？

答曰：积三十五尺九分尺之五。为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。

原文

〔一〕今有穿地积一万尺。问为坚、壤各几许？

答曰：为坚七千五百尺，为壤一万二千五百尺。

术曰：穿地[1]四，为壤[2]五，为坚[3]三，为墟[4]四。以穿地求壤，五之；求坚，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。

注释

[1]穿地：挖地取土。

[2]为壤：折组成松软的土。为：折合；壤：松软的土。

[3]坚：坚实的土。

[4]墟：指挖坑。

译文

〔一〕今挖地积土10000立方尺。问折组成坚土、松土各多少？

答：折组成坚土7500立方尺，折组成松土12500立方尺。

算法：各种土方量换算的比率规则为：挖地松土坚土挖坑4。以挖地折合松土，乘以5；折合坚土，乘以3；皆除以4。以松土折合挖地（坑），乘以4；折合坚土，乘以3；皆除以5。以坚土折合挖地（坑），乘以4；折合松土，乘以5；皆除以3。

堤防在《九章算术》中的堤，上、下两底平行，而图中是上、下两底不平行的堤堰。唐代数学家王孝通把它分解成一个堤与一个羡除，并算出堤与羡除的体积之和，然后得出上下两底不平行的堤防的体积。

译解

算法中规则了各种土方量的换算比率，“术解”和译解共同。

挖地∶松土∶坚土∶挖坑＝4∶5∶3∶4。

因为确认了换算比率，将挖地折组成松土或坚土时：

所求松土量为：，所求坚土量为：

将松土折组成挖地或坚土时：

所求挖地（坑）量为：，所求坚土量为：

将坚土折组成挖地或松土时：

所求挖地（坑）量为：，所求松土量为：

题〔一〕所问

折合坚土量为：

折合松土量为：

原文

城、垣、堤、沟、堑、渠，皆同术[1]。

术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤[2]乘之，即积尺。

注释

[1]城、垣、堤、沟、堑、渠，皆同术：城、垣（yuán，短墙）、堤、沟、堑（qiàn，护城河）、渠的形状，皆为等腰梯形的直棱柱体。

估算其体积，古今算法共同，如图5－其算法如下：

（图5－1）

设其上底（古谓“上广”）为a，下底“下广”为b，高为h，长为L，则所求体积：。

[2]袤（mào）：纵长。

译文

城、垣、堤、沟、堑、渠都用同一种算法。

算法：上下底长相加，再除以用高或深乘它，又用长相乘，便得体积的立方尺。

原文

〔二〕今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几许？

答曰：一百八十九万七千五百尺。

南缫车元代鼓车是古代一种能估算行里的车辆。汉朝虽有鼓车制造者，但关于造车程序的记载过于容易；直到北宋年间，才有《宋史·舆服志》具体记叙了此车的结构、尺度等，并使这一技能传袭后世。

译文

〔二〕现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺，问这段城的体积是多少？

答：体积为1897500立方尺。

译解（“术解”与译解共同）

依据图5－所求此段城的体积为：，

（因为用立方尺作答，故将丈化为尺代入公式）即：

×1265尺＝1897500立方尺。

原文

〔三〕今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几许？

答曰：六千七百七十四尺。

译文

〔三〕今有矮墙下底长3尺，上底长2尺，高1丈2尺，纵长22丈5尺8寸。问这段矮墙的体积是多少？

答：6774立方尺。

译解（“术解”与译解共同）

所求矮墙的体积为：。

原文

〔四〕今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几许？

答曰：七千一百一十二尺。

冬程人功[1]四百四十四尺。问用徒[2]几许？

答曰：一十六人一百一十一分人之二。

术曰：以积尺为实，程功[3]尺数为法，实如法而一，即用徒人数。

注释

[1]冬程人功：冬天每人一日的工程量。程：规则；人功：每人一日的工程量。

[2]徒：劳作者。

[3]程功：指每个劳作者的工程定量。

译文

〔四〕今有堤堰，下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺，问这段堤堰的体积是多少？

答：体积为7112立方尺。

冬天规则每人一日工程量为444立方尺，问修这段堤堰需用多少人？

答：需用劳作者人。

算法：用体积的立方尺数作被除数，用所规则的每人一日工程量的立方尺作除数。用除数除被除数即为所用的劳作人数。

译解（“术解”与译解共同）

所求堤堰的体积为：，

所求的用工人数为：。

原文

〔五〕今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几许？

答曰：四千三百七十五尺。

春程人功[1]七百六十六尺，并出土功五分之一，定功[2]六百一十二尺五分尺之四。问用徒几许？

答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。

术曰：置自己功[3]，去其五分之一，余为法。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。

注释

[1]春程人功：春季所规则的每人每日的工程量。

[2]定功：所能确认的工程量。因为每日每人的总工程量是766立方尺，而运泥土的工程量为总工程量的，那么挖泥土的工程量就可以确认，故称定功。本处所说“定功”是题设条件重复，实无必要。

[3]自己功：原本规则的每人一日的工程定量，未减去出土等工作量。本：原本，原本。

译文

〔五〕今有沟，上宽1丈5尺，下宽1丈，深5尺，纵7丈。问这段沟的容积是多少？

答：容积为4375立方尺。

春季规则每人每日的工程量为766立方尺，加上运泥土的工程量按折算，其他立方尺是挖土量，问挖土须要多少人？

答：需用劳力7人。

算法：将原定每人每日的工程量，减去，取余数为除数；以水沟容积的立方尺数为被除数。用除数去除被除数，即得所需人数。

译解（“术解”与译解相同）

所求沟的容积为：×70尺＝4375立方尺（将丈化为尺估算）

所求挖土人数为：

原文

〔六〕今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问积几许？

答曰：一万九百四十三尺八寸。

夏程人功[1]八百七十一尺。并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺一十五分尺之四[2]。问用徒几许？

答曰：四十七人三千四百八十四分人之四百九。

术曰：置自己功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。

注释

[1]夏程人功：夏日所规则的每人每日的工程量。

[2]定功二百三十二尺一十五分尺之四：这是题设条件。

古人称矿图图为古人炼丹时，用秤称矿物料的景象。

译文

〔六〕今有护城河上宽1丈6尺3寸，下宽1丈，深6尺3寸，纵13丈2尺1寸。问这段护城河容积是多少？

答：容积是10943立方尺800立方寸（原文中“八寸”即今800立方寸）

夏日所规则的每人日工程量为871立方尺，加上运泥土的工程量按日工程量的折算，沙砾水石的工程量按日工程量的计，其他工程量立方尺是挖土量。问挖土须要多少人？

答：所需人数为人。

算法：将原定每人每日的工程量减去出土的工程量，再减去除掉沙砾水石的工程量，所余下的数作除数；此护城河容积的立方尺数作被除数。除数除被除数，即得挖土人数。

译解（“术解”与译解相同）

所求护城河的容积为：×1321寸=10943824.5立方寸＝10943立方尺824.5立方寸10943立方尺800立方寸（824.5立方寸，为了简易，古人称800）。

原文

〔七〕今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几许？

答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。

秋程人功三百尺，问用徒几许？

答曰：三万三千五百八十二人功。功内少一十四尺四寸。

一千人先到，问当受袤几许？

答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一尺度之八。

术曰：以一人功尺数，乘先到人数为实。并渠上下广而半之，以深乘之为法。实如法得尺。

译文

〔七〕今挖渠上宽1丈8尺，下宽3尺6寸，深1丈8尺，纵长51824尺。问这段渠的容积是多少？

答：容积是10074585立方尺600立方寸。（原文曰“六寸”，古今表述有差异。）

秋季规则每人日工程量为300立方尺，问须要多少人？

答：须要33582人，其间缺乏部分为14立方尺4立方寸。

若1000人先开工，问能挖渠多长？

答：能挖渠154丈3尺度。

算法：用1人工程量的立方尺数乘以先到人数作为被除数；途径上、下宽度之和除以再乘以深度作为除数。除数除被除数，即得所挖途径的长度。

汉五铢金币图为汉五铢金币，于1980年在陕西省咸阳市北塬出土。其形状为圆形方孔，正面穿孔上还有一横廓。币上有阴文篆书“五铢”二字，五字在右，铢字在左。金币重9克，经化验金的成色为95%，是现在发现的时代最早的金币。

译解（“术解”与译解相同）

第一问

所求挖渠的容积为：×518240寸＝10074585600立方寸＝10074585立方尺600立方寸。

第二问

若每人一日工程量为300立方尺，所需人数为：＝33581.952人33582人。缺乏的部分为14立方尺4立方寸（即，300立方尺/人×（0.952）人＝14.4立方尺）。

第三问

若1000人先开工，能挖途径的长度为：

原文

〔八〕今有方堡[1]，方一丈六尺，高一丈五尺。问积几许？

答曰：三千八百四十尺。

术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。

注释

[1]堡（dǎo）：土筑小城。

译文

〔八〕今有正四棱柱形土筑小城堡，底面边长为1丈6尺，高1丈5尺。问它的体积是多少？

答：体积为3840立方尺。

算法：底面边长自乘，再乘以高，即为所求体积的立方尺度。

译解（“术解”与译解相同）

方形土筑城堡的形状如图5－2。

（图5－2）

设a为边长，h为高，则体积为：a×a×h＝16尺×16尺×15尺＝3840立方尺。

原文

〔九〕今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几许？

答曰：二千一百一十二尺。

术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。

算盘明代我国的算盘发明于西周，流行于宋、元，它是一种快速、便利的估算东西。如今发现有9档、11档、13档三种算盘。图为明代二五珠11档象牙算盘，其结构与今日通用的算盘完全相同。

译文

〔九〕今有圆柱体形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺。问它的体积是多少？

答：体积为2112立方尺。

算法：周长自乘，再乘以高，除以12。

译解（“术解”与译解相同）

圆形土筑城堡的形状如图5－3。

（图5－3）

设圆柱体底面半径为R，高为h，周长为C，

因C＝2πR，故，则所求体积为：

原文

〔一〇〕今有方亭[1]，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几许？

答曰：一十万一千六百六十六尺太半尺。

术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。

注释

[1]方亭：正四面形棱台体建筑物。

译文

〔一〇〕今有正四面形棱台体建筑物，下底边长为5丈，上底边长为4丈，高为5丈。问它的体积是多少？

答：体积为立方尺。

算法：上底边长乘下底边长加上底边长自乘，下底边长自乘之和再乘以高，除以3。

译解（“术解”与译解相同）

正四面棱台体建筑物的形状如图5－4。

（图5－4）

设上底边长为b，下底边长为a，高为h，上底面积为S下底面积为S则所求体积为：×5丈×（4丈×4丈＋5丈×5丈＋4丈×5丈）＝。

原文

〔逐个〕今有圆亭[1]，下周三丈，上星期二丈，高一丈。问积几许？

答曰：五百二十七尺九分尺之七。

术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。

注释

[1]圆亭：正圆台体形建筑物。

译文

〔逐个〕今有正圆台体建筑物，下底面周长为3丈，上底面周长为2丈，高1丈。问它的体积是多少？

答：体积是立方尺。

算法：上下底面周长相乘加上底面自乘、下底面自乘之和，再乘以高除以36。

译解（“术解”与译解相同）

正圆台体形建筑物的形状如图5－5。

（图5－5）

设上底周长C′＝2丈，下底周长C＝3丈，高h＝1丈。

上底半径，下底半径丈，则所求体积为：

原文

〔一二〕今有方锥[1]，下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几许？

答曰：七千四十七尺。

术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。

注释

[1]方锥：纠正四棱锥。

译文

〔一二〕今有正四棱锥，下底边长为2丈7尺，高为2丈9尺，问它的体积是多少？

答：体积是7047立方尺。

算法：下底边长自乘，再乘以高，除以3。

译解（“术解”与译解相同）

正四面棱锥的形状如图5－6。

（图5－6）

设高h＝2丈9尺，边长a＝2丈7尺，底面积为S，则所求锥体体积为：

=7047立方尺。

原文

〔一三〕今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几许？

答曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。

术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。

译文

〔一三〕今有圆锥，底面周长为3丈5尺，高5丈1尺。问它的体积是多少？

答：它的体积是立方尺。

算法：底面周长自乘，再乘以高，除以36。

译解（“术解”与译解相同）

圆锥的形状如图5－7。

（图5－7）

设底面周长为C，高为h，则

所求体积为：

原文

〔一四〕今有堑堵[1]下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几许？

答曰：四万六千五百尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。

注释

[1]堑堵：底面为直角三角形的直棱柱。

译文

〔一四〕今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺。问它的体积是多少？

答：46500立方尺。

算法：两边长相乘，再乘以高，除以2。

译解（“术解”与译解相同）

底面为直角三角形的直棱柱的形状如图5－8。

（图5－8）

设高为h，两边长为a，b，则

所求体积为：＝46500立方尺。

原文

〔一五〕今有阳马[1]，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几许？

答曰：九十三尺少半尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。

注释

[1]阳马：指底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥。

译文

〔一五〕今有底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，它的底面宽5尺，长7尺，高8尺，问它的体积是多少？

答：它的体积是立方尺。

算法：底面边长乘以宽，再乘以高，除以3。

阿拉伯数字幻方铁板幻方铁板于西安东郊元代安西王府遗址开掘，铁板分36格，每格用阿拉伯数字标出，并排成一个方阵，方格从纵、横或对角线看，每组数字相加总和都是111。古人把它作为奥秘之物，认为它具有驱邪镇灾的效果。

译解（“术解”与译解相同）

所求物体的形状如图5－9。

（图5－9）

设宽为b，长为a，高为h，则所求体积为：×底面积×高＝abh＝。

原文

〔一六〕今有鳖臑[1]，下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问积几许？

答曰：二十三尺少半尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。

注释

[1]鳖臑（biēnào）：四面皆为直角三角形的棱锥。

译文

〔一六〕今有四面都是直角三角形的棱锥，底宽5尺而无长，上底长4尺而无宽，高7尺，问它的体积是多少？

答：体积为立方尺。

算法：长宽相乘，再乘以高，除以6。

译解（“术解”与译解相同）

四面都是直角三角形的棱锥形状如图5－10。

（图5－10）

则所求体积为：。

原文

〔一七〕今有羡除[1]，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几许？

答曰：八十四尺。

术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。

注释

[1]羡除：墓道。此处是指三面为等腰梯形，其他两旁边面为直角三角形的五面体，墓道也是这个形状。

译文

〔一七〕今有三面皆为等腰梯形，其他两旁边面为直角三角形的五面体，（前端）下宽6尺，上宽1丈，深3尺，结尾宽8尺，无深，长7尺。问它的体积是多少？

答：体积为84立方尺。

算法：（上、下、末）三个宽度相加，乘以深，又用长相乘，除以6。

译解（“术解”与译解相同）

所求物体的形状如图5－11。

（图5－11）

所求体积为：。

原文

〔一八〕今有刍甍[1]，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几许？

答曰：五千尺。

术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。

注释

[1]刍甍：转义为盖上草的屋脊。刍：草；甍：屋脊。这儿指地上为矩形的屋脊状的楔体。

译文

〔一八〕今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈。问它的体积是多少？

答：体积为5000立方尺。

算法：下底长乘以再加上上棱长，它们之和用（下底）宽乘，再乘以高，除以6。

译解（“术解”与译解相同）

所求物体的形状如图5－12。

（图5－12）

设a＝2丈，b＝4丈，c＝3丈，h＝1丈，则所求体积为：

牟合方盖刘徽在推证《九章算术》中的一些立体体积公式时，灵敏地使用了极限办法与不行重量办法。使用这些办法，刘徽发明了一个被称为“牟合方盖”的新立体，并指出其体积与球体积之间的联系。刘徽尽管没能推求出牟合方盖的体积，但他所创用的不行重量办法，却成为后来祖冲之和其儿子在球体积估算问题上获得打破的先导。

原文

刍童[1]、曲池[2]、盘池[3]、冥谷[4]，皆同术。

术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，认为上袤；亦并下中、外周而半之，认为下袤。

注释

[1]刍童：上下底面皆为长方形的草垛。

[2]曲池：上下底面皆为扇形的水池。

[3]盘池：上下底面皆为长方形的土坑。

[4]冥谷：上下底面皆为长方形的墓坑。

译文

上下底面皆为长方形的草垛，上下底面皆为扇形的水池，上下底面皆为长方形的土坑，上下底面皆为长方形的墓坑等，都用同一办法。

算法：上底长的2倍加下底长，相同下底长的2倍加上底长；各用它们对应的宽相乘，再次相加，再用高或深相乘，除以6。以公式表明，则所求体积为：。关于“曲池”，将上底中外周长相加除以作上底长；也用下底中外周长相加除以2作下底长。

原文

〔一九〕今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问积几许？答曰：二万六千五百尺。

译文

〔一九〕今有上下底面皆为长方形的草垛，下底宽2丈，长3丈；上宽3丈，长4丈；高3丈。问它的体积是多少？

答：体积为26500立方尺。

译解（“术解”与译解相同）

所求物体的形状如图5－13。

（图5－13）

估算这种形状的物体的体积，有一个公式（请参考卷第五题〔一九〕原文前的相关部分），将有关数据代入公式，则所求体积为：

原文

〔二〇〕今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问积几许？

答曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。

祖恒在开立圆术中规划的立体模型图为祖冲之的儿子祖恒“开立圆术”中规划的立体模型。祖恒提出了“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥体的体积之差，然后求出牟合方盖的体积等于，并得到球的体积为，这种算法比外国人早了一千多年。

译文

〔二〇〕今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈。问它的容积是多少？

答：它的容积量为1883立方尺立方寸。

译解（“术解”与译解相同）

所求物体的形状如图5－14。

（图5－14）

依据题〔一九〕的估算公式，上底长＝丈＝3丈＝30尺，

所求体积为：

原文

〔二一〕今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几许？

答曰：七万六百六十六尺太半尺。

负土[1]来往七十步，其二十步上下棚除[2]。棚除二当平道五，踟蹰[3]之间十加一，载输之间三十步，定一返[4]一百四十步。土笼[5]积一尺六寸，秋程人功行五十九里半。问人到[6]积尺、用徒各几许？

答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。

术曰：以一笼积尺乘程行步数为实。来往上下，棚除二当平道五。置定来往步数，十加一，及载输之间三十步认为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。

注释

[1]负土：指背筐运土。

[2]棚除：脚手架。

[3]踟蹰（chíchú）：转义是指犹疑徘徊不前，此比喻为负土困难。

[4]一返：一个来回，指运土的旅程间隔。

[5]土笼：运土的筐子。

[6]人到：人均工作量。

译文

〔二一〕今有上下底皆为长方形土池，上底宽6丈，长8丈；下底宽4丈，长6丈，深2丈。问它的容积是多少？

答：容积是立方尺。

背筐运土来往70步，其间20步是上下脚手架，在脚手架上行走，每两步当平路5步估算；背筐运土，步履困难，每10步当11步估算；现场装卸误时，按30步估算；故确认运土一次（一返）为140步。土筐容积为1.6立方尺，规则秋季每人行程为59里。问每人每天运土体积，需用劳作人数各是多少？

答：每人每天运土204立方尺。需用人。

新莽铜衡杆新莽铜衡杆于1926年在甘肃出土。衡杆长64.74厘米、宽1.6厘米、高3.3厘米、重2442克，为扁平长方体，悬纽已残。中部刻新莽铭文20行81字。图中，上为新莽铜衡杆，下为衡杆所刻铭文。

算法：以一筐容积数乘以所规则的行人程步数，作为被除数。来往上下脚手架每2步按平道5步估算，将规则的往复步数，加这以后，再加装卸折合的30步作为除数。以除数去除被除数，所得即为一人运土量的立方尺数。以每人运土量去除总土方量，即为所需劳作人数。

译解（“术解”与译解相同）

1．上下底面皆为长方形的土池形状如图5－15。

（图5－15）

按卷第五题〔一九〕前的公式，所求容积为：

2．按题规划条件，往复一次需走的步数为：［（70－20＋20×5÷2）×11÷10＋30］步＝140步，×300（每里为300步）步＝17850步，又据算法提示，所求每人运土量为：＝204立方尺/人，所求劳作人数为：。

原文

〔二二〕今有冥谷，上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺。问积几许？

答曰：五万二千尺。

载土来往二百步，载输之间一里，程行五十八里，六人共车，车载三十四尺七寸。问人到积尺及用徒各几许？

答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六。

术曰：以一车积尺乘程行步数为实。置今来往步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。

冥谷冥谷在《九章算术》中是指上下底面皆为长方形的墓坑，线形状如图所示。

译文

〔二二〕今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺。问它的容积量是多少？

答：容积为52000立方尺。

推车运土往复200步，装卸算作1里行程，每人每天全程共58里，6人共推一辆车，每车可载土34.7立方尺。问每人每天运土体积以及需用多少人工？

答：每人每天运土立方尺，需用人工人。

算法：以车容量乘以行程步数，作为被除数。将来往步数，加装卸所算得作1里行程，乘以每车6人作为除数。除数除被除数，所得即为1人每天运土的立方尺数。以每人运土量去除总土方量，即得所需人数。

译解（“术解”与译解相同）

1．上下底面皆为长方形的墓坑形状如图5－16所示。依据卷第五题〔一九〕前的相关公式。所求容积为：

（图5－16）

2．全程步数为：58里×300（每里为300步）＝17400步。

200步＋1里＝（200＋300）步＝500步，

按算法提示，每人每天的运土量为：，所需人数为：

原文

〔二三〕今有委粟平地[1]，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几许？

答曰：积八千尺。为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。

〔二四〕今有委菽依垣[2]，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几许？

答曰：积三百五十尺。为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。

〔二五〕今有委米依垣内角[3]，下周八尺，高五尺。问积及为米几许？

答曰：积三十五尺九分尺之五。为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。

委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。其依垣者，十八而一。其依垣内角者，九而一。

程粟一斛，积二尺七寸。其米一斛，积一尺六寸五尺度之一。其菽、荅、麻、麦一斛，皆二尺四寸十尺度之三。

注释

[1]委粟平地：在平地堆积粟。

[2]委菽依垣：靠墙面堆积大豆。

[3]委米依垣内角：靠墙内角堆积米。

译文

〔二三〕今将粟放在平地，谷堆下周长12丈，高2丈。问这堆谷堆的体积及应有粟是多少？

答：谷堆体积是8000立方尺，有粟斛。

〔二四〕今靠墙面堆积大豆，大豆堆下周长是3丈，高为7尺。问这堆大豆的体积以及应有大豆是多少？

答：大豆体积为350立方尺。应有大豆斛。

〔二五〕今靠墙面内角堆积大米，米堆下周长为8尺，高为5尺。问这堆米有体积以及应有大米多少？

答：这堆大米的体积为立方尺。应有大米斛。

堆粟的算法是：下周长自乘，再乘以高，除以36。当靠墙堆积时，除以18；当靠墙内角堆积时除以9。

规则：1斛粟＝2.7立方尺；1斛米＝1.62立方尺；一斛大豆、一斛小豆、一斛芝麻、一斛麦＝2.43立方尺。

译解（“术解”与译解相同）

〔二三〕这堆谷为圆锥形，如图5－17。

（图5－17）

设下周周长为C＝12丈，圆半径为，则所求体积为：

1斛粟＝2.7立方尺，则所求粟数为：。

〔二四〕这堆大豆为半圆锥形，如图5－18。

（图5－18）

本处下周长3丈实为半圆周长，先按一圆锥估算，参考卷第五题〔二三〕，这一圆锥形体积为：。

再将这一圆锥形体积除以则得这堆大豆的体积，即：，1斛大豆＝2.43立方尺，则所求大豆数为：350立方尺÷2.43立方尺/斛＝斛。

〔二五〕在墙内角堆积大米，所构成的是圆锥体，如图5－19。

（图5－19）

本处下周长8尺，实为圆周长，先按一圆锥形估算，参考卷第五题〔二三〕，这一圆锥体的体积为：。

再将这一个圆锥体体积除以则得这堆大米的体积，即：

又知1斛米＝1.62立方尺，则所求米数为立方尺÷1.62立方尺/斛＝斛。

原文

〔二六〕今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地下广几许？

答曰：三尺五分尺之三。

术曰：置垣积尺，四之为实。以深、袤相乘，又三之，为法。所得倍之，减上广，余即下广。

译文

〔二六〕今挖坑，长1丈6尺，深1丈，上底宽为6尺，以所挖之土筑墙，体积为576立方尺。问所挖坑下底宽是多少？

答：下底宽为尺。

算法：将所挖之土筑墙所构成的体积数乘以4作被除数；以深远相乘，再除以3作除数，除数除被除数所得成果乘以减去上底宽，余数即为所求的下底宽。

译解（“术解”与译解相同）

所挖之坑的上下底面为长方形，上下底面长相同而宽不同，呈等腰梯形的直棱柱横放之形，如图5－20。

（图5－20）

所求体积为：（上底宽＋下底宽）×长×深＝（a＋b）×dh，所挖之土为“虚土”，筑墙之土为“坚土”。

576立方尺为“坚土”，松土体积

原文

〔二七〕今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几许？

答曰：二丈。

术曰：置粟一万斛积尺为实。广袤相乘为法。实如法而一，得高尺。

译文

〔二七〕今有粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟10000斛。问该粮仓高是多少？

答：高是2丈。

算法：将粟米10000斛所包括的体积作被除数，长宽相乘作除数。除数除被除数即得高的尺数。

译解（“术解”与译解相同）

该粮仓为一长方体形，由卷第五题〔二五〕知：

1斛粟＝2.7立方尺，则10000×2.7＝30×45×h，

原文

〔二八〕今有圆囷，高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。问周几许？

答曰：五丈四尺。

术曰：置米积尺，以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周。

译文

〔二八〕今有圆柱形粮仓，高1丈3尺度，容纳米2000斛。问其周长是多少？

答：周长为5丈4尺。

算法：将米之体积的立方尺数乘以除以高，所得之数开平方，即为周长。

译解（“术解”与译解相同）

设周长为C，高为h，容积为V，圆柱半径为R，则V＝πR2h，C＝2πR，

（取π＝3），

由卷第五题〔二五〕知：1斛米＝1.62立方尺＝1620立方寸。

V＝2000×1620立方寸＝3240000立方寸，540寸＝5丈4尺。

我国古代长度单位名称及进位简表

注：“仞”还有等于七尺、八尺之说，此只作“四尺为仞”之说。